В клетках квадратной таблицы
Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что сколько бы мы ни провели таких перемен, нам не удастся получить таблицу из одних «+».
Рассмотрим количество плюсов, расположенных в области, выделенной серым цветом:
Изначально количество плюсов в этой области было нечётным (7 плюсов и один минус), а в итоге должно стать чётным (все 8 плюсов). Но любая операция затрагивает либо 2 клетки из этой области, либо не затрагивает ни одной (если меняются знаки в главных диагоналях или в угловых клетках). Значит, чётность количества плюсов, расположенных в этой области, всё время будет оставаться неизменной.