Имеется 12 одинаковых на вид монет, одна из которых фальшивая, но неизвестно, легче она или тяжелее, чем другие. Как за 3 взвешивания на равноплечих весах без гирь найти фальшивую?
Занумеруем монеты числами от 1 до 12.
Кладём на чаши наборы 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8. Возможны два случая:
-
Весы в равновесии. Это значит, что фальшивая среди оставшихся монет с номерами от 9 до 12. Сравниваем монеты 9 и 10 с 1 и 2. Возможны 2 варианта:
- Если весы в равновесии, то фальшивая одна из двух — 11 или 12. Сравниваем монету 11 с монетой 1. Если равновесие, то фальшивая монета 12, в противном случае фальшивая монета 11.
- Если равновесия нет, то фальшивая — одна из 9 и 10, причем известно даже, легче она или тяжелее настоящей. Аналогично предыдущему случаю, фальшивая монета находится сравнением монеты 9 с монетой 1. (Либо можно просто сравнить 9 и 10 между собой, так как мы уже знаем, легче фальшивая монета или тяжелее.)
-
Одна из чаш (для определённости — левая) легче, значит, фальшивая монета среди взвешиваемых. Кладём на чаши наборы 9, 10, 11, 4 и 1, 2, 3, 8. Возможны три случая:
- Левая чаша по-прежнему легче. Тогда фальшивая одна из двух монет: 4 или 8 (их положение не менялось). Сравниваем монету 4 с монетой 1. Если равновесие, то фальшивая монета 8, в противном случае фальшивая монета 4.
- Весы уравновесились. Фальшивая одна из монет 5, 6, 7, причём она тяжелее настоящей. Сравниваем монеты 5 и 6. Если они равны по весу, то фальшивая монета 7, в противном случае фальшивая та из них, которая оказалась тяжелее.
- Легче стала правая чаша. Фальшивая одна из монет 1, 2, 3, причём она легче настоящей. Аналогично предыдущему варианту, фальшивая монета определяется сравнением монет 1 и 2.