В бакалейном магазине

Женщина купила в бакалейном магазине несколько тарелок по 5 долларов каждая, несколько ложек по 1 доллар каждая, и несколько бусинок по 5 центов каждая. Всего она купила 100 предметов и потратила на это ровно $100. Сколько предметов каждого вида она купила?

Поскольку средняя цена всех предметов равна 1 доллар, то ложки, которые стоят по 1 доллар каждая, можно пока что вообще не рассматривать: основное соотношение задачи — количество купленных предметов равно числу потраченных долларов — останется справедливым, даже если убрать все ложки.

Таким образом, нужно найти число купленных тарелок и бусинок, зная, что их общее количество равно числу потраченных на их приобретение долларов. Как ни крути, но сделать это проще всего с помощью уравнения. Обозначим количество тарелок через x, а количество бусинок — через y. Справедливо следующее соотношение:

5x + 0,05y = x + y

(здесь слева стоит общая стоимость тарелок и бусинок в долларах, а справа — их общее количество). После приведения подобных слагаемых, получаем:

4x = 0,95y

или, умножая обе части равенства на 20:

80x = 19y

Так как x и y — целые числа, а 80 и 19 не имеют общих делителей (19 — вообще простое число), то x должно делиться на 19, а y — на 80. Поскольку всего предметов — вместе с ложками — было 100, то сумма x и y должна быть меньше 100. Следовательно, x = 19 и y = 80.

Значит, женщина купила в магазине 19 тарелок и 80 бусинок на общую сумму

5×19 + 0,05×80 = 99 долларов.

Оставшийся доллар приходится на единственную купленную ею ложку.